Axel's Helferchen

1. Berechnung der Norm-Gasdichte

Die Norm-Gasdichte ${\rho }_{\mathrm{norm}}$ wird basierend auf den physikalischen Normbedingungen nach DIN 1343 ($0\text{ °C}$ und $\mathrm{1013,25}\text{ mbar}$) aus der molaren Masse $M$ des gewählten Gases ermittelt.

Hierbei wird das universelle ideale Molvolumen von $\mathrm{22,414}\text{ l/mol}$ genutzt:

Das Programm führt diese Berechnung vollautomatisch aus, sobald ein Gas aus der Liste gewählt oder die Molmasse manuell eingegeben wird.

2. Dichte im Betriebszustand und Volumenstrom

Die Betriebsdichte $\rho$ am Ventileintritt verändert sich in Abhängigkeit von Druck und Temperatur nach dem idealen Gasgesetz. $R=8314\text{ J/(kmol·K)}$ ist die universelle Gaskonstante; $T_1$ ist die Temperatur in Kelvin ($T_1=\theta +273.15$):

Aus dem Massenstrom $M_S$ resultiert der Betriebsvolumenstrom $V_S$:

3. Berechnung & Herleitung des Kv-Wertes für Gase

Die Grenze zur kritischen Schallströmung berechnet sich präzise über den Isentropenexponenten $\kappa$:

3.1 Fall A: Unterkritische Strömung (Unterschall)

3.2 Fall B: Überkritische Strömung (Schallgeschwindigkeit)

3.3 Ermittlung des K_vs-Wertes (Nenn-Durchflusskoeffizient)

Der berechnete $K_v$-Wert stellt den theoretischen Mindestdurchfluss am Auslegungspunkt dar. Um eine ausreichende Stellreserve für Regelabweichungen zu gewährleisten und zu verhindern, dass das Ventil am Auslegungspunkt bereits voll geöffnet ist, wird der erforderliche Nenn-Durchflusswert $K_{\mathrm{vs}}$ mit einer Sicherheits- beziehungsweise Regelreserve berechnet (Ventilauslastung 75 % am Auslegungspunkt):

Ausgehend von diesem Richtwert $K_{\mathrm{vs}}$ wählt man für die Auslegung den nächstgrößeren Standard-Nennwert des Herstellers als gewählten $K_{\mathrm{vsg}}$.

Thermodynamische Herleitung der Kv-Gleichungen für Gase:

Während bei inkompressiblen Flüssigkeiten (siehe Abs. 4) die Dichte konstant bleibt, muss bei kompressiblen Gasen die Dichteänderung nach der isentropen Zustandsänderung ($p·{\rho }^{-\kappa }=\mathrm{const}$) berücksichtigt werden.

Aus Energie-, Kontinuitäts- und Isentropenbeziehung ergibt sich die allgemeine Massenstromgleichung für Drosseln:

Bedeutung der Konstanten 438,6 und 379,1:

Die Faktoren 438,6 (unterkritischer Fall) und 379,1 (kritischer Fall / Schallströmung) sind keine physikalischen Naturkonstanten, sondern reine Einheiten- und Definitionskonstanten. Sie fassen folgende Größen zusammen:

• 3600 s/h (Umrechnung Stunden → Sekunden)
• 10⁵ Pa/bar (Druckumrechnung)
• Normbedingungen nach DIN 1343 ($p_{\mathrm{norm}}=\mathrm{1,01325}\text{ bar}$, $T_{\mathrm{norm}}=\mathrm{273,15}\text{ K}$)
• Spezifische Gaskonstante, Kv-Definition und Geometriefaktoren des Referenzventils

Der Unterschied zwischen 438,6 und 379,1 entsteht durch die unterschiedliche mathematische Struktur der Strömungsgleichung beim Übergang von Unterschall zu abgeschnürter Schallströmung (Choked Flow bei $p_2/p_1\le \mathrm{0,528}$ für Luft).

4. Kv-Berechnung für Flüssigkeiten & Reynolds-Zahl

Für inkompressible Flüssigkeiten gilt die direkte Formel nach IEC 60534. Die Dichteänderung entfällt im Vergleich zu Gasen.

4.1 Volumenstrom aus Massenstrom und Dichte

Aus dem Massenstrom $\stackrel{·}{m}$ in kg/h und der Flüssigkeitsdichte $\rho$ in kg/m³ ergibt sich der Betriebsvolumenstrom $\stackrel{·}{Q}$ in m³/h:

4.2 Kv-Wert für Flüssigkeiten (IEC 60534)

Der hydraulische Kv-Wert folgt aus der Bernoulli-Gleichung. Bezugsdichte ist Wasser bei 15 °C (${\rho }_0=1000\text{ kg/m³}$). Er gibt an, welcher Volumenstrom in m³/h bei einem Druckabfall von 1 bar durch das Ventil fließt:

mit $\stackrel{·}{Q}$ in m³/h, $\rho$ in kg/m³ und $\Delta p$ in bar.

4.3 Reynolds-Zahl und Strömungsregime

Die dimensionslose Reynolds-Zahl $\mathrm{Re}$ beschreibt das Verhältnis von Trägheits- zu Reibungskräften in der Anströmung:

mit der dynamischen Viskosität $\eta$ in Pa·s (Eingabe in mPa·s, intern durch 1000 geteilt), der Dichte $\rho$ in kg/m³, der Geschwindigkeit $v$ in m/s und dem Innendurchmesser $d_i$ in m.

4.4 Klassifikation des Strömungsregimes

5. Massenstrom bei voller Öffnung (m_sg)

Der Massenstrom bei voller Öffnung $M_{\mathrm{sg}}$ in $\text{kg/h}$ gibt an, welche maximale Gasmenge pro Stunde durch das gewählte Ventil strömen kann, wenn dieses zu $100\text{ \%}$ geöffnet ist und mit seinem Nenn-Durchflusskoeffizienten $K_{\mathrm{vsg}}$ arbeitet.

Die Grenze, ab welcher das Gas am Ventilsitz die Schallgeschwindigkeit erreicht und die Strömung blockiert (Choking), wird thermodynamisch exakt über das kritische Druckverhältnis aus dem Isentropenexponenten $\kappa$ berechnet:

Fall A: Unterkritische Strömung

Das reale Druckverhältnis liegt über der kritischen Grenze. Das Gas strömt mit Unterschallgeschwindigkeit und der maximale Massenstrom wird mathematisch wie folgt aus dem gewählten $K_{\mathrm{vsg}}$ berechnet:

Fall B: Überkritische Strömung

Das Gas erreicht im engsten Querschnitt die Schallgeschwindigkeit. Eine Vergrößerung der Druckdifferenz ($\Delta p$) bewirkt keine Steigerung des Massenstroms mehr. Der Grenzmassenstrom hängt rein vom Eintrittsdruck $p_1$ und dem Isentropenexponenten $\kappa$ ab:

6. Eintrittsgeschwindigkeit am Auslegungspunkt

Die Geschwindigkeit $v$ des Gases im Ventileintritt wird aus dem berechneten Betriebsvolumenstrom am Eintritt ($V_S$ in m³/h) und der inneren Querschnittsfläche der gewählten Rohrleitungsnennweite ($DN$ in Metern) berechnet:

Diese Geschwindigkeit bezieht sich rein auf den Eintrittszustand des unexpandierten Mediums vor der Drosselstelle.

7. Ventil-Kennlinien & Öffnungsgrad (Hub H)

Der Öffnungsgrad bzw. relative Ventilhub $H$ ($\mathrm{0,0}$ bis $\mathrm{1,0}$ entsprechend $0\text{ \%}$ bis $100\text{ \%}$) gibt an, auf welche Position der Stellantrieb den Ventilkegel stellen muss, um genau den geforderten Auslegungs-$K_v$-Wert mit der gewählten Armatur ($K_{\mathrm{vsg}}$) einzustellen.

Mathematische Grundlagen

Für die Umrechnung werden zwei Hilfsparameter definiert:

• Relatives Durchflussverhältnis ($k_{\mathrm{vv}}$): Verhältnis des geforderten Betriebs-$K_v$ zum gewählten Nenn-$K_{\mathrm{vsg}}$
  $k_{\mathrm{vv}}=\frac{K_v}{K_{\mathrm{vsg}}}$
• Grunddurchflussverhältnis ($a$): Kehrwert des gewählten Stellverhältnisses ($S_V$), welches das Verhältnis vom maximalen zum kleinsten regelbaren Durchfluss beschreibt (z. B. bei $S_V=50$ ist $a=1/50=\mathrm{0,02}$):
  $a=\frac{1}{S_V}$

Formeln für den Öffnungsgrad (Hub H) nach Kennlinientyp

1. Lineare Kennlinie (Linear):

Bei einer linearen Kennlinie ändert sich der Durchflusskoeffizient direkt proportional zum Hub. Gleiche Hubänderungen bewirken gleiche Änderungen des $K_v$-Wertes. Dieser Kennlinientyp eignet sich besonders für Systeme mit nahezu konstantem Druckabfall $\Delta p$.

2. Gleichprozentige Kennlinie (Equal-Percentage):

Bei einer gleichprozentigen Kennlinie bewirken gleiche Hubänderungen gleiche prozentuale Änderungen des aktuellen Durchflusswertes. Im unteren Hubbereich arbeitet das Ventil extrem feinfühlig (flache Kurve), während die Kennlinie bei höherem Hub steiler ansteigt. Dies kompensiert druckabhängige Kennlinienverfälschungen in langen Rohrleitungen oder Wärmetauschern.

3. Quadratische Kennlinie (Quadratic):

Bei einer quadratischen Kennlinie steigt der Durchflusskoeffizient quadratisch mit dem Hub an. Sie bildet einen Mittelweg zwischen linearer und gleichprozentiger Charakteristik und wird vor allem bei speziellen Druck- und Mengenregelungsaufgaben eingesetzt.

Hinweis zur Auswertung: Der berechnete Wert $H$ liegt bei korrekt gewählter Armatur zwischen $\mathrm{0,0}$ und $\mathrm{1,0}$ (bzw. $0\text{ \%}$ und $100\text{ \%}$). Ein Wert über $\mathrm{1,0}$ signalisiert, dass der gewählte Nenn-$K_{\mathrm{vsg}}$-Wert zu klein gewählt wurde.

8. Durchflusskennwerte (Kv, KG, μ und ζ) & Blendentabelle

Diese Übersicht fasst die mathematischen Zusammenhänge zwischen dem Kv-Wert ($K_v$), der Ausflusszahl ($\mu$), dem Widerstandsbeiwert ($\zeta$) und dem gasspezifischen KG-Wert ($K_G$) zusammen.

8.1 Mathematische Grundlagen

A: Zusammenhang zwischen Widerstandsbeiwert ($\zeta$) und Ausflusszahl ($\mu$):

B: Hydraulischer Kv-Wert (Flüssigkeiten):

C: Pneumatischer KG-Wert / Kvg-Wert (Gase):

Der gasspezifische Durchflusskoeffizient steht in linearem Verhältnis zum hydraulischen Kv-Wert:

8.2 Visualisierung: Kv-Wert-Verlauf über den Durchmesser

Das Diagramm zeigt anschaulich, wie der $K_v$-Wert aufgrund des quadratischen Flächenzuwachses bei konstanter Ausflusszahl ($\mu =\mathrm{0,62}$) exponentiell ansteigt:

8.3 Berechnete Durchflusstabelle ($\mu =\mathrm{0,62}$, $\zeta \approx \mathrm{2,60}$)

Berechnete Werte für eine scharfkantige Blende bei einer Fluid-Normdichte (Wasser) von ${\rho }_0=1000\text{ kg/m³}$: