Rohr-Rechner

Berechnung der geometrischen Kennwerte des Rohrquerschnitts, Flächen, Volumina, Massen, Fluiddynamik, stationärer Temperatur- und Spannungsverläufe sowie Kragarm-Auslenkung.

Geometrie

Außendurchmesser Innendurchmesser

Außendurchmesser D_a

Wandstärke s

Rohrlänge L

Segmenthöhe h

Auslenkung δ am losen Ende

Anzahl

Stk.

Medium

Volumenstrom Massenstrom

Volumenstrom V̇

m³/h

Dichte ρ

kg/m³

Massenstrom ṁ (berechnet) —

Temperatur

Innenwand T_i

°C

Außenwand T_o

°C

Werkstoff

Material-Vorauswahl

Material-Dichte ρ_mat

kg/l

E-Modul

GPa

α (therm. Ausd.)

10⁻⁶/K

Querkontraktion ν

–

Druck (Überdruck)

Innendruck p_i

bar ü

Außendruck p_o

bar ü

Zulässige Spannung

max. zul. Zugspannung

N/mm²

max. zul. Druckspannung

N/mm²

Festigkeitshypothese

von Mises Tresca Rankine

Bestimmt, wie die Vergleichsspannung aus σ_r, σ_θ, σ_z (und τ) gebildet und gegen die zulässigen Spannungen geprüft wird.

Geometrische Kennwerte des Kreisrings (Rohrquerschnitt), berechnet aus den Eingaben im Feldbereich „Geometrie" links. Beim Überfahren eines Wertes mit der Maus wird das zugehörige Element in der Skizze hervorgehoben.

1. Geometrie — Kreisring und Kreissegment (Füllhöhe h)

Berechnung der geometrischen Kennwerte des Rohrquerschnitts sowie des Kreissegments bei teilverfülltem Rohr.

1.1 Kreisringquerschnitt

U_{i} = π \cdot D_{i}, U_{a} = π \cdot D_{a}

A_{i} = \frac{π}{4} \cdot D_{i}^{2}, A_{ges} = \frac{π}{4} \cdot D_{a}^{2}

A_{ring} = A_{ges} - A_{i} = \frac{π}{4} \cdot (D_{a}^{2} - D_{i}^{2})

U_i und U_a sind der innere und äußere Umfang, A_i ist die freie Innenfläche, A_ges die Gesamtfläche des Außenkreises und A_ring die Netto-Querschnittsfläche der Rohrwand.

1.2 Kreissegment (Medium-Füllstand h)

Auf Basis des Innenhalbmessers r = r_i = D_i/2 und der Segmenthöhe h (0 ≤ h ≤ D_i):

θ = 2 \cdot \arccos (\frac{r - h}{r}) (in rad)

c = 2 \cdot \sqrt{h \cdot (2 r - h)}, b = r \cdot θ

A_{seg} = \frac{r^{2}}{2} \cdot (θ - \sin θ), A_{anteil} = \frac{A_{seg}}{A_{i}} \cdot 100 %

θ ist der Mittelpunktswinkel im Bogenmaß (rad), c die Sehnenlänge an der Oberfläche der Flüssigkeit, b die benetzte Bogenlänge, A_seg die benetzte Querschnittsfläche und A_anteil der Befüllungsgrad in Prozent.

2. Fluiddynamik — Strömungsgeschwindigkeit, F-Faktor und Staudruck

Kennwerte der Fluidströmung sowohl für den voll durchströmten Rohrquerschnitt (A_i) als auch für das teilbefüllte Kreissegment (A_seg bei Segmenthöhe h).

2.1 Strömungsgeschwindigkeit v und Massenstrom ṁ

v_{voll} = \frac{\overset{\cdot}{V}}{A_{i}}, \overset{\cdot}{m} = \overset{\cdot}{V} \cdot ρ

Aus dem Volumenstrom V̇ und der freien Querschnittsfläche A_i ergibt sich die mittlere Vollrohr-Strömungsgeschwindigkeit v_voll. Mit der Mediumsdichte ρ berechnet sich der Massenstrom ṁ.

2.2 Strömungsdynamik im teilbefüllten Kreissegment (A_seg)

v_{seg} = \frac{\overset{\cdot}{V}}{A_{seg}}, F_{seg} = v_{seg} \cdot \sqrt{ρ}

Tritt der Volumenstrom nur durch das teilbefüllte Kreissegment A_seg (Füllhöhe h), steigt die effektive Strömungsgeschwindigkeit auf v_seg. Dementsprechend erhöht sich auch der berechnete F-Faktor F_seg.

2.3 Dynamischer Staudruck (Kinetische Energiedichte)

p_{dyn} = \frac{1}{2} \cdot ρ \cdot v^{2}

Der dynamische Staudruck p_dyn (in Pa bzw. mbar) repräsentiert die kinetische Energiedichte der Fluidströmung. Er wird sowohl für den Vollquerschnitt p_dyn,voll als auch für das Kreissegment p_dyn,seg ausgewertet.

3. Rohr — Oberflächen, Volumina und Massenberechnung

Geometrische Hüllflächen, Material- und Füllvolumina sowie Einzel- und Gesamtgewicht von Rohr und Füllung für die Stückzahl N.

3.1 Oberflächen und Volumina

A_{i, Mantel} = π \cdot D_{i} \cdot L, A_{a, Mantel} = π \cdot D_{a} \cdot L

V_{mat} = A_{ring} \cdot L, V_{füll} = A_{i} \cdot L, V_{seg} = A_{seg} \cdot L

A_i,Mantel und A_a,Mantel sind die inneren und äußeren Manteloberflächen für die Rohrlänge L. V_mat ist das Werkstoffvolumen, V_füll das volle Innenvolumen und V_seg das Fluidvolumen im teilbefüllten Zustand.

3.2 Massenberechnung (Rohr, Medium & Gesamt)

m_{mat} = V_{mat} \cdot ρ_{mat}, m_{seg} = V_{seg} \cdot ρ_{med}

m_{ges} = m_{mat} + m_{seg}, m_{gesamt, N} = N \cdot m_{ges}

m_mat ist das Leergewicht eines Rohres (mit Materialdichte ρ_mat), m_seg das Füllgewicht des Mediums (mit Mediumsdichte ρ_med), m_ges das Einzel-Gesamtgewicht und m_gesamt,N das Gesamtgewicht aller N Rohre.

4. Spannungen — Lamé-Druckspannung, Thermospannung und Überlagerung

Grundlage ist die Theorie des dickwandigen, langen, geraden Kreisrohrs unter radialsymmetrischer Last (Achsensymmetrie: keine Abhängigkeit von der Umfangsrichtung θ, alles hängt nur vom Radius r ab). Die Wandtemperaturen T_i und T_o sind zeitlich konstant, sodass sich ein stationärer (eingeschwungener) Zustand einstellt. a = r_i ist der Innenradius, b = r_o der Außenradius.

4.1 Druckspannung (Lamé-Gleichungen)

Wirkt ein Innendruck p_i und/oder Außendruck p_o (jeweils Überdruck), ergeben sich die klassischen Lamé-Spannungen. Sie folgen aus der allgemeinen Lösung σ_r = C₁ − C₂/r², σ_θ = C₁ + C₂/r² der Gleichgewichts- und Verträglichkeitsbedingung (ohne Temperatur), wobei C₁ und C₂ aus den Randbedingungen σ_r(a) = −p_i und σ_r(b) = −p_o bestimmt werden (Druck wirkt komprimierend auf die Oberfläche, daher das Minuszeichen).

A. Radiale Druckspannung σ_r,p

σ_{r, p} = \frac{p_{i} a^{2} - p_{o} b^{2}}{b^{2} - a^{2}} - \frac{(p_{i} - p_{o}) a^{2} b^{2}}{(b^{2} - a^{2}) r^{2}}

Der erste Bruch (konstant, unabhängig von r) ist die Integrationskonstante C₁; der zweite, mit 1/r² abfallende Term ist C₂/r².

Bei reinem Innendruck (p_o = 0) ist σ_r,p(a) = −p_i (Druckspannung an der Innenwand, wie physikalisch erwartet) und σ_r,p(b) = 0.
Bei reinem Außendruck (p_i = 0) ist σ_r,p(b) = −p_o und σ_r,p(a) = 0.
Im Gegensatz zur thermischen Radialspannung verschwindet dieser Anteil an den Rändern nicht, sondern nimmt dort genau den Wert des jeweils anliegenden Drucks an.

B. Tangentiale Druckspannung σ_θ,p

σ_{θ, p} = \frac{p_{i} a^{2} - p_{o} b^{2}}{b^{2} - a^{2}} + \frac{(p_{i} - p_{o}) a^{2} b^{2}}{(b^{2} - a^{2}) r^{2}}

Gleiche Struktur wie σ_r,p, aber mit „+“ statt „−“ vor dem 1/r²-Term (klassische Lamé-Formel). Für reinen Innendruck ist diese Spannung stets größer als σ_r,p und an der Innenfaser (r = a) maximal — der Grund, warum bei Druckbehältern die Innenwand die höchste Umfangsspannung erfährt und dort Risse bevorzugt entstehen.

C. Axiale Druckspannung σ_z,p (geschlossene Rohrenden)

σ_{z, p} = \frac{p_{i} a^{2} - p_{o} b^{2}}{b^{2} - a^{2}} (konstant, geschlossene Enden)

Folgt aus dem Kräftegleichgewicht am geschlossenen Rohrende: Der Innendruck drückt mit der Kraft p_i·π·a² auf den Stirnboden, der Außendruck mit p_o·π·b² dagegen; die resultierende Kraft verteilt sich gleichmäßig über die Wandquerschnittsfläche π(b²−a²). Anders als σ_r,p und σ_θ,p ist dieser Anteil über den gesamten Querschnitt konstant — er hängt nicht von r ab. Bei offenen Enden (z. B. ein Kompensator nimmt die Axialkraft auf) entfällt dieser Term.

4.2 Kesselformel (dünnwandige Näherung)

Die Kesselformel ist die klassische dünnwandige Vereinfachung der Lamé-Gleichungen: Sie folgt aus einem einfachen Kräftegleichgewicht am aufgeschnittenen Rohrmantel, ohne die Änderung der Spannung über die Wanddicke zu berücksichtigen (σ_r wird dabei vernachlässigt). Sie liefert nur den Mittelwert der Umfangs- und Axialspannung und ist umso ungenauer, je dickwandiger das Rohr ist.

A. Tangentialspannung nach der Kesselformel σ_t

σ_{t} = \frac{p_{i} \cdot d_{i}}{2 s}

Folgt aus dem Gleichgewicht am längs aufgeschnittenen Rohr: Die Innendruckkraft p_i·d_i·L auf die projizierte Fläche wird von zwei Wandquerschnitten 2·s·L aufgenommen. Mit d_i = 2a (Innendurchmesser) und s = b−a (Wandstärke).

Entspricht näherungsweise dem Mittelwert der exakten Lamé-Spannung σ_θ,p über die Wanddicke — nicht dem (höheren) Wert an der Innenfaser.
Faustregel für die Anwendbarkeit: Außendurchmesser-zu-Wandstärke-Verhältnis D_a/s ≥ 10 (manche Normen fordern ≥ 20 für hohe Genauigkeit).

B. Axialspannung nach der Kesselformel σ_l

σ_{l} = \frac{p_{i} \cdot d_{i}}{4 s} = \frac{σ_{t}}{2}

Aus dem Kräftegleichgewicht am Stirnboden (Innendruckkraft auf die Kreisfläche π·(d_i/2)², aufgenommen vom dünnen Ringquerschnitt π·d_i·s). Stets genau halb so groß wie σ_t — ein einfacher Merksatz, der bei der exakten Lamé-Lösung σ_z,p so nicht mehr gilt. Die Ergebniskarte oben vergleicht beide Ansätze zahlenmäßig für die aktuellen Eingabewerte.

4.3 Thermospannung

A. Stationäres Temperaturfeld T(r)

T (r) = T_{o} + (T_{i} - T_{o}) \cdot \frac{\ln (b / r)}{\ln (b / a)}

Löst die stationäre Wärmeleitungsgleichung in Zylinderkoordinaten (Fourier'sches Gesetz, radiale Wärmeleitung ohne innere Wärmequellen): d/dr(r·dT/dr) = 0. Die allgemeine Lösung ist logarithmisch in r; die Integrationskonstanten folgen aus den beiden Randbedingungen T(a) = T_i und T(b) = T_o.

Bei r = a liefert der Logarithmus-Bruch genau 1, also T(a) = T_i.
Bei r = b wird ln(b/b) = 0, also T(b) = T_o.
Der Verlauf ist nicht linear über der Wandstärke, sondern zur heißeren Seite hin gekrümmt (steilerer Gradient nahe dem kleineren Radius, da die Wärme dort durch eine kleinere Umfangsfläche fließen muss).

B. Spannungskoeffizient K

K = \frac{α E (T_{i} - T_{o})}{2 (1 - ν) \ln (b / a)}

Fasst alle Werkstoff- und Betriebsgrößen zu einem einzigen Vorfaktor (Einheit: Spannung, z. B. MPa) zusammen, mit dem die drei folgenden Klammerausdrücke skaliert werden.

α·E ist der „thermische Spannungsmodul“ — er gibt an, wie viel Spannung pro Kelvin Temperaturdifferenz entsteht, wenn eine Ausdehnung behindert wird.
(T_i − T_o) = ΔT ist die treibende Temperaturdifferenz zwischen den Wänden; ohne sie (ΔT = 0) verschwinden alle Thermospannungen.
1/(1−ν) ist der Faktor des ebenen Verzerrungszustands (die Querdehnungsbehinderung durch den benachbarten Werkstoff in Umfangs- und Axialrichtung erhöht die Spannung gegenüber dem einachsigen Fall).
1/ln(b/a) normiert auf das Wanddickenverhältnis: je dicker die Wand relativ zum Radius, desto kleiner dieser Faktor und damit — bei sonst gleichem ΔT — die Spannungsspitzen.

C. Radiale Thermospannung σ_r

σ_{r} = K [- \ln (b / r) - \frac{a^{2}}{b^{2} - a^{2}} \cdot (1 - \frac{b^{2}}{r^{2}}) \cdot \ln (b / a)]

Spannung senkrecht zur Wand, in Richtung des Radius. Der erste Term −ln(b/r) stammt direkt aus dem Temperaturprofil; der zweite Term ist ein Korrekturterm, der sicherstellt, dass keine äußere Radialkraft an den Wänden wirkt.

An beiden Rändern verschwindet σ_r exakt: σ_r(a) = σ_r(b) = 0 — physikalisch, weil dort kein Druck anliegt (freie, unbelastete Oberflächen).
Im Wandinneren ist σ_r ungleich null (meist betragsmäßig klein im Vergleich zu σ_θ und σ_z), da das Material dort von innen und außen „eingespannt“ ist.
Diese Komponente ist für die Festigkeitsbewertung meist die am wenigsten kritische der drei Hauptspannungen.

D. Tangential-/Umfangsspannung σ_θ

σ_{θ} = K [1 - \ln (b / r) - \frac{a^{2}}{b^{2} - a^{2}} \cdot (1 + \frac{b^{2}}{r^{2}}) \cdot \ln (b / a)]

Spannung in Umfangsrichtung — entsteht, weil sich wärmere Fasern stärker ausdehnen wollen als kältere und dabei von den Nachbarfasern im gleichen Ring behindert werden. Fast identisch aufgebaut wie σ_r, jedoch mit umgekehrtem Vorzeichen beim b²/r²-Term und einer zusätzlichen Konstante „1“.

Für ein von innen erwärmtes Rohr (T_i > T_o) wird die Innenfaser auf Druck (σ_θ < 0), die Außenfaser auf Zug (σ_θ > 0) beansprucht — die innere Faser will sich ausdehnen, wird aber vom kälteren, „steiferen“ Außenmaterial zusammengehalten.
Bei Abkühlung von innen (T_i < T_o) kehren sich die Vorzeichen um: Zug innen, Druck außen. Das ist praktisch oft der kritischere Fall, weil Zugspannungen an der Innenfaser Anrisse begünstigen.
Diese Komponente ist zusammen mit σ_z in der Regel für die Auslegung maßgebend.

E. Axialspannung σ_z (freie Rohrenden)

σ_{z} = K [1 - 2 \ln (b / r) - \frac{2 a^{2}}{b^{2} - a^{2}} \cdot \ln (b / a)]

Spannung in Rohrlängsrichtung. Die Annahme „freie Enden“ bedeutet: Es wirkt keine äußere Axialkraft, aber ebene Querschnitte bleiben eben (jeder Querschnitt dehnt sich als Ganzes gleichmäßig, die einzelnen Fasern aber unterschiedlich stark je nach ihrer lokalen Temperatur — daher die inneren Spannungen).

Über den gesamten Querschnitt integriert ist die resultierende Axialkraft null: ∫ σ_z·r dr = 0 von a bis b — das ist genau die Bedingung, mit der diese Gleichung hergeleitet wurde.
Die innere Faser wird bei Erwärmung von innen auf Druck, die äußere auf Zug beansprucht (bzw. umgekehrt bei Abkühlung) — analog zu σ_θ, und tatsächlich gilt für den ungestörten (druckfreien) Fall σ_z = σ_θ + σ_r an jeder Stelle r.

F. Superposition — Gesamtspannung

σ_{k} (r) = σ_{k, therm} (r) + σ_{k, p} (r), k \in {r, θ, z}

Da sowohl die thermische als auch die druckinduzierte Lösung aus derselben linear-elastischen Theorie stammen (Gleichgewicht, Verträglichkeit, Hooke'sches Gesetz — alles lineare Beziehungen), dürfen beide Spannungszustände einfach addiert werden. Die im Diagramm und in den Ergebniskarten angezeigten Werte sind stets diese Summe; bei p_i = p_o = 0 reduziert sich alles auf den reinen Thermospannungsfall.

Alle Größen sind Hauptspannungen (r, θ, z sind hier Hauptrichtungen), es tritt keine Schubspannung in diesem Koordinatensystem auf.
Eine anschließende Vergleichsspannung (z. B. nach Tresca: σ_V = max(σ_r,σ_θ,σ_z) − min(σ_r,σ_θ,σ_z), oder nach von Mises) kann direkt aus diesen drei Werten gebildet werden.

4.4 Vergleichsspannung (Festigkeitshypothesen)

A. Gestaltänderungsenergiehypothese (von Mises)

σ_{v} = \sqrt{\frac{1}{2} [(σ_{r} - σ_{θ})^{2} + (σ_{θ} - σ_{z})^{2} + (σ_{z} - σ_{r})^{2}]}

Die GEH (Gestaltänderungsenergiehypothese) fasst den dreiachsigen Hauptspannungszustand σ_r, σ_θ, σ_z — hier bereits als Summe aus Thermo- und Druckanteil — zu einer einzigen, mit einem einachsigen Zugversuch vergleichbaren Kennzahl σ_v zusammen.

Sie beruht auf der Vorstellung, dass nicht die reine Volumenänderung, sondern nur der gestaltändernde (deviatorische) Anteil der Formänderungsenergie ein Bauteil zum Fließen bringt — ein rein hydrostatischer Spannungszustand (σ_r = σ_θ = σ_z) liefert daher σ_v = 0, unabhängig von seiner Größe.
Je größer die Unterschiede zwischen den drei Hauptspannungen, desto größer σ_v — die Formel misst also im Kern die „Spannweite und Streuung“ des Hauptspannungszustands.
Bewertung: Fließbeginn wird erwartet, sobald σ_v die Streckgrenze R_e (bzw. R_p0,2) des Werkstoffs erreicht — üblich für duktile Werkstoffe wie die meisten Stähle.
Wichtige Einschränkung: σ_v ist eine gerade Funktion der Spannungsdifferenzen (nur Quadrate) und daher symmetrisch in Zug und Druck — ein Spannungszustand und sein exaktes Negativ liefern denselben Wert. Unterscheiden sich die zulässigen Zug- und Druckspannungen wesentlich (z. B. bei sprödem Werkstoffverhalten oder unterschiedlichen Sicherheitsanforderungen), ist von Mises dafür nicht das passende Kriterium — dann eignet sich eher Rankine (Abschnitt C) oder zumindest Tresca (Abschnitt B). Über den Auswahl-Button „Festigkeitshypothese“ lässt sich zwischen allen drei Ansätzen umschalten; das Diagramm, die Ergebniskarte und die Tabellen aktualisieren sich entsprechend.

B. Schubspannungshypothese (Tresca)

σ_{v} = σ_{1} - σ_{3}

Auch „Schubspannungshypothese“ genannt: Fließen tritt ein, sobald die größte Schubspannung — die halbe Differenz aus größter (σ₁) und kleinster (σ₃) Hauptspannung — einen kritischen Wert erreicht. σ₁, σ₂, σ₃ sind die drei Hauptspannungen (σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃, geordnet nach Größe, nicht zwangsläufig identisch mit σ_r, σ_θ, σ_z — bei vorhandener Schubspannung τ, z. B. aus Querkraftbiegung, ergeben sich die Hauptspannungen erst aus dem Mohrschen Kreis).

Ebenfalls symmetrisch in Zug und Druck wie von Mises, aber etwas konservativer (liefert für denselben Spannungszustand stets σ_v,Tresca ≥ σ_v,von Mises, maximal um den Faktor 2/√3 ≈ 1,155 größer).
Geometrisch: Tresca beschreibt im Hauptspannungsraum ein Sechseck, von Mises einen Kreiszylinder, der dieses Sechseck umschreibt — beide Kriterien stimmen an den Sechseck-Ecken exakt überein.

C. Hauptspannungshypothese (Rankine)

σ_{1} \leq σ_{zul,Zug} und σ_{3} \geq - σ_{zul,Druck}

Ältestes und einfachstes Kriterium (William Rankine, Mitte 19. Jh.): Versagen tritt ein, sobald eine einzelne Hauptspannung ihren kritischen Wert erreicht — die größte Zugspannung σ₁ wird direkt gegen σ_zul,Zug geprüft, die größte Druckspannung (kleinste Hauptspannung σ₃) direkt gegen −σ_zul,Druck. Im Gegensatz zu von Mises und Tresca geht hier kein Vergleich der Hauptspannungen untereinander ein, sondern jede einzeln, vorzeichenrichtig.

Physikalisch passend für spröde Werkstoffe (Gusseisen, Beton, Keramik, Naturstein), die durch Trennbruch senkrecht zur größten Zugspannung versagen, nicht durch Fließen/Gleiten.
Einzige der drei Hypothesen, die von Natur aus unterschiedliche zulässige Zug- und Druckspannungen berücksichtigt, ohne künstliche Symmetrie-Annahmen — dafür in diesem Rechner vorgesehen, wenn σ_zul,Zug und σ_zul,Druck stark voneinander abweichen.
Für duktile Werkstoffe (Stahl) i. d. R. nicht geeignet, da reale Fließvorgänge über Schub/Gleitung ablaufen und nicht über reines Aufreißen.

Kurzform der Bezeichnungen: a = r_i (Innenradius), b = r_o (Außenradius), p_i/p_o Innen-/Außendruck (Überdruck, aus bar ü in MPa umgerechnet). Positive Spannungswerte bedeuten Zug, negative Druck. Bei von Mises und Tresca ist σ_v per Definition stets ≥ 0 und wird gegen σ_zul,Zug geprüft; bei Rankine wird die tatsächlich maßgebende, vorzeichenbehaftete Hauptspannung gegen die jeweils passende Grenze geprüft.

5. Querkraftbiegung — Einseitig eingespanntes Rohr (Kragarm)

Zusätzlich zum axialsymmetrischen Lastfall (Temperatur, Innen-/Außendruck) wird das Rohr jetzt als Kragarm der Länge L betrachtet: Ein Ende ist starr eingespannt, das andere frei. Eine Querkraft F senkrecht zur Rohrachse lenkt das freie Ende um δ aus. Diese Biegung überlagert sich der bisherigen, umfangssymmetrischen Spannungsverteilung und macht sie unsymmetrisch — auf der Zugfaser (in Richtung der Auslenkung) steigt die Axialspannung, auf der gegenüberliegenden Druckfaser sinkt sie.

Abbildung 5 — Belastungsfall: einseitig eingespanntes Rohr mit Querkraft F am freien Ende

5.1 Erforderliche Kraft F aus der Balken-Durchbiegung

δ = \frac{F \cdot L^{3}}{3 E I} ⇒ F = \frac{3 E I δ}{L^{3}}

Klassische Balkenbiegelinie für einen Kragarm mit Einzellast am freien Ende (Euler-Bernoulli-Theorie, kleine Durchbiegungen). I ist das axiale Flächenträgheitsmoment des Hohlquerschnitts, I = π/64·(D_a⁴ − D_i⁴). Nach F umgestellt ergibt sich die Kraft, die nötig ist, um die vorgegebene Auslenkung δ zu erzeugen.

5.2 Biegemoment, Biege- und Schubspannung an der Einspannstelle

M_{\max} = F \cdot L, σ_{b} = \frac{M_{\max}}{W_{b}}, W_{b} = \frac{I}{b}

Das Biegemoment ist am eingespannten Ende maximal (M(x) = F·(L−x), linear abnehmend zum freien Ende hin, dort null) und erzeugt dort die größte Biegespannung. σ_b ist die Randfaserspannung bei r = b = r_o; sie wirkt zusätzlich zur bereits berechneten Axialspannung σ_z aus Temperatur und Druck — auf der Zugfaser addiert, auf der Druckfaser subtrahiert:

Zugfaser (in Auslenkrichtung): σ_z,ges = σ_z(r_o) + σ_b
Druckfaser (gegenüberliegend): σ_z,ges = σ_z(r_o) − σ_b
Neutrale Faser (90° versetzt): σ_b = 0, dort ist stattdessen die Schubspannung aus der Querkraft maximal.

5.3 Schubspannung aus der Querkraft (Hohlquerschnitt, neutrale Faser)

τ_{\max} = \frac{4 F}{3 A} \cdot \frac{b^{2} + a b + a^{2}}{b^{2} + a^{2}}

Allgemeine Formel für die maximale Schubspannung eines kreisringförmigen Querschnitts an der neutralen Faser (A = π(b²−a²) ist die Querschnittsfläche). Für a → 0 (Vollquerschnitt) ergibt sich der bekannte Faktor 4/3, für a → b (dünnwandiges Rohr) der Faktor 2 — beide Grenzfälle sind in dieser Formel enthalten. An diesem Punkt tritt zusätzlich zu σ_r, σ_θ, σ_z eine Schubspannung auf; die Vergleichsspannung erweitert sich entsprechend: σ_v = √(0,5·[(σ_r−σ_θ)²+(σ_θ−σ_z)²+(σ_z−σ_r)²] + 3τ²).

6. Material-Richtwerte & Zulässige Spannungen

Typische Orientierungswerte für E-Modul, Wärmedehnung α, Querkontraktionszahl ν sowie üblicher zulässiger Zug- und Druckspannung gängiger Werkstoffe und einiger industrieller Ablagerungen. E, α und ν sind Bereichsmittel aus Werkstoffdatenblättern. Die zulässigen Spannungen σ_zul,Zug/σ_zul,Druck sind dagegen grobe Anhaltswerte auf Basis üblicher Sicherheitsfaktoren (duktile Metalle: SF ≈ 1,5 gegen die Streckgrenze; Kunststoffe: dauerstandbezogene Bemessungsspannung nach DVS/ISO, stark temperatur- und zeitabhängig durch Kriechen; spröde Werkstoffe wie Glas, Keramik, Eis, Salz und Kesselstein: SF ≈ 3–10 gegen die Bruchfestigkeit, mit deutlich höherer Druck- als Zugfestigkeit) — kein Ersatz für eine Auslegung nach der jeweils zutreffenden Norm (z. B. AD 2000-Merkblätter, DIN EN 13445, ASME BPVC, DVS-Richtlinien, geotechnische Bemessungswerte). Über das Dropdown „Material-Vorauswahl" im Feldbereich „Werkstoff" lassen sich alle fünf Werte direkt in den Rechner übernehmen.

Material	E-Modul [kN/mm²]	α [10⁻⁶·K⁻¹]	ν [–]	σ_zul,Zug [N/mm²]	σ_zul,Druck [N/mm²]	Quelle / Herleitung
Kupfer (rein, weich)	110 – 130	16,5	0,34	80 – 95	80 – 95	AD 2000-Mb. B0 Tafel 3 (S=2,5–3,5 geg. R_m) · R_m≈220–240 N/mm² (Kupferinstitut e.V.)
Aluminium (Al99,5, weich)	70	23,8	0,33	25 – 35	25 – 35	AD 2000-Mb. W6/1 / B0 Tafel 3 · R_m≈70–100 N/mm² (GDA)
Stahl (unlegiert, S235–S355)	210	11,5 – 12,0	0,30	155 – 235	155 – 235	AD 2000-Mb. B0 Tafel 2 (S=1,5 geg. R_e) · R_e=235–355 N/mm² (DIN EN 10025)
Edelstahl (V2A/V4A, austenitisch)	195 – 200	16,0 – 16,5	0,30	125 – 150	125 – 150	AD 2000-Mb. B0 Tafel 2 / W2 (S=1,5 geg. R_p0,2) · R_p0,2≈190–220 N/mm² (Euro Inox)
Tantal^†	186	6,5	0,34	90 – 115	90 – 115	Ingenieur-Schätzung: R_p0,2≈140–170 N/mm² (Plansee) / SF≈1,5 — kein AD-2000-Regelwerkstoff
Titan (Reintitan, Grade 1/2)	105	8,6	0,32	150 – 200	150 – 200	ASME B31.3-Prinzip (SF≈1,5 geg. R_p0,2) · R_p0,2≈170–310 N/mm² (MatWeb)
HDPE (Polyethylen, PE80/PE100)	0,8 – 1,2	150 – 200	0,40 – 0,45	5 – 8	6 – 9	DVS 2205-1 (Bemessungsspannung, 20 °C/50 a, medienabhängig)
PP (Polypropylen)	1,3 – 1,8	100 – 150	0,40 – 0,45	4 – 7	5 – 9	DVS 2205-1 (Bemessungsspannung, 20 °C/50 a, medienabhängig)
PVC (hart, PVC-U)	2,0 – 4,0	70 – 80	0,35 – 0,40	10 – 14	12 – 16	EN ISO 1452 (Bemessungsspannung σ_design für PVC-U-Druckrohre, 20 °C)
PTFE (Teflon)^†	0,4 – 0,6	120 – 160	0,46	3 – 6	5 – 10	Ingenieur-Schätzung: Kaltfluss/Kriechen begrenzt Dauerlast weit unter R_m (W. L. Gore Auslegungshinweise)
Borosilicatglas 3.3	64	3,3	0,20	7	100^†	Zug: DIN 12775 (Baugrundsätze für Glasapparate, DIN Media) · Druck: Ingenieur-Schätzung (SF geg. Druckfestigkeit ≈700–900 N/mm², DURAN Group)
Siliciumcarbid (technisch)^†	410	4,0	0,16	60 – 100	400 – 600	Ingenieur-Schätzung: Biegefestigkeit≈300–400 N/mm² / SF≈3–5 (CeramTec); keine einheitliche Bemessungsnorm
Kesselstein, gipsreich^†	10 – 30	≈ 15 – 25	≈ 0,25 – 0,30	0,5 – 1,5	5 – 15	Ingenieur-Schätzung, keine Normquelle (VDI-Wärmeatlas als Orientierung)
Kesselstein, silikatreich^†	20 – 50	≈ 8 – 12	≈ 0,20 – 0,25	0,5 – 2,5	8 – 20	Ingenieur-Schätzung, keine Normquelle (VDI-Wärmeatlas als Orientierung)
Ruß, trocken	n. a.	n. a.	n. a.	n. a.	n. a.	Disperses Pulver (kein Festkörper, keine Bemessungsspannung definierbar)
Kohlenstäube, trocken	n. a.	n. a.	n. a.	n. a.	n. a.	Disperses Pulver (kein Festkörper, keine Bemessungsspannung definierbar)
Eis^†	9 – 10	50	0,33	0,5 – 1,2	3 – 8	Ingenieur-Schätzung aus Bruchfestigkeiten (CRC Handbook), keine Bemessungsnorm
Salz (Steinsalz/NaCl)^†	30 – 35	40	0,25	0,5 – 1,5	8 – 15	Ingenieur-Schätzung aus UCS-Werten (BGE Geotechnik), keine Bemessungsnorm für diesen Anwendungsfall

^† kennzeichnet Werte ohne direkte Normquelle — reine Ingenieur-Schätzungen auf Basis bekannter Festigkeitskennwerte und üblicher Sicherheitsfaktoren, da für diese Materialien keine einschlägige Bemessungsnorm existiert oder frei zugänglich war. Alle übrigen σ_zul-Werte sind aus den verlinkten Normen/Regelwerken (AD 2000-Merkblatt B0, DVS 2205-1, EN ISO 1452, DIN 12775) mit den dort angegebenen Sicherheitsbeiwerten hergeleitet — für eine verbindliche Auslegung ist stets die vollständige, aktuelle Norm mit dem konkreten Werkstoffdatenblatt, der Temperatur und der Betriebsdauer heranzuziehen. Verlinkt sind, wo verfügbar, die offiziellen Verlags-/Herausgeberseiten (DIN Media, Beuth); viele Normen sind kostenpflichtig. Ruß und trockene Kohlenstäube liegen als loses Pulver vor und besitzen keinen definierten Elastizitätsmodul im Sinne eines Festkörpers — sie sind im Auswahl-Dropdown deshalb deaktiviert. Kesselstein-Werte (mit „≈" gekennzeichnet) sind zusätzlich in E, α und ν Schätzbereiche, da industrielle Ablagerungen je nach Betriebsbedingungen stark unterschiedliche Porosität und Zusammensetzung aufweisen können.

Axel’s Helferchen – Rohr-Rechner

Rohr-Rechner — Geometrie, Kreisring, Segment, Fluiddynamik, Spannungen und Kragarm

Geometrie

Medium

Temperatur

Werkstoff

Druck (Überdruck)

Zulässige Spannung

Festigkeitshypothese

1. Geometrie — Kreisring und Kreissegment (Füllhöhe h)

2. Fluiddynamik — Strömungsgeschwindigkeit, F-Faktor und Staudruck

3. Rohr — Oberflächen, Volumina und Massenberechnung

4. Spannungen — Lamé-Druckspannung, Thermospannung und Überlagerung

4.1 Druckspannung (Lamé-Gleichungen)

4.2 Kesselformel (dünnwandige Näherung)

4.3 Thermospannung

4.4 Vergleichsspannung (Festigkeitshypothesen)

5. Querkraftbiegung — Einseitig eingespanntes Rohr (Kragarm)

6. Material-Richtwerte & Zulässige Spannungen

Gasdichte berechnen

Rohr-Rechner — Geometrie, Kreisring, Segment, Fluiddynamik, Spannungen und Kragarm

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Werkstoff

Druck (Überdruck)

Zulässige Spannung

Festigkeitshypothese

1. Geometrie — Kreisring und Kreissegment (Füllhöhe h)

2. Fluiddynamik — Strömungsgeschwindigkeit, F-Faktor und Staudruck

3. Rohr — Oberflächen, Volumina und Massenberechnung

4. Spannungen — Lamé-Druckspannung, Thermospannung und Überlagerung

4.1 Druckspannung (Lamé-Gleichungen)

4.2 Kesselformel (dünnwandige Näherung)

4.3 Thermospannung

4.4 Vergleichsspannung (Festigkeitshypothesen)

5. Querkraftbiegung — Einseitig eingespanntes Rohr (Kragarm)

6. Material-Richtwerte & Zulässige Spannungen