Herleitung der wirksamen Balgdruckfläche durch statische Integration

Diese Herleitung bestimmt die wirksame axiale Querschnittsfläche $A_{gesamt}$ eines Wellrohrkompensators (Balg) über das statische Momentengleichgewicht an der elastischen Wellenflanke. Dabei wird die kontinuierliche Lastverteilung der Innendruckkraft entlang des Radius exakt integriert.

Abbildung 1: Geometrischer Querschnitt der Balgwelle und das mechanische Ersatzmodell als zweiseitig gelagerter Balken.

1. Mechanische Grundlage: Das Hebelprinzip (Momentengleichgewicht)

Der physikalische Schlüssel für diesen Ansatz liegt im Momentengleichgewicht an der Flanke. Legt man einen radialen Schnitt durch die elastische Wellenflanke, lässt sich diese mechanisch wie ein zweiseitig aufgelagerter Balken betrachten, der an zwei Punkten abgestützt ist:

Inneres Wellental (Rohranschluss bei Radius $r_{i}$ ): Hier wird die Kraft in die Rohrleitung eingeleitet.
Äußerer Wellenberg (Scheitelpunkt bei Radius $R$ ): Durch die Symmetrie zur Nachbarflanke heben sich dort die axialen Verschiebungen auf (Drehpunkt / Symmetrielager).

Wirkt eine differentielle Druckkraft $F_{Druck}$ bei einem beliebigen Radius $r$ , verteilt sich diese Kraft nach dem Hebelgesetz auf die beiden Auflager. Um den Lastanteil zu bestimmen, der an das Wellental (die Rohrleitung) abgegeben wird, bilden wir das Momentengleichgewicht um den Wellenberg (Drehpunkt bei $R$ ):

\sum M_{R} = 0 \Rightarrow F_{Wellental} \cdot (R - r_{i}) - F_{Druck} \cdot (R - r) = 0

Daraus folgt unmittelbar der Übertragungsfaktor (Hebelarm-Verhältnis), der angibt, welcher Bruchteil einer bei Radius $r$ angreifenden Druckkraft in die Rohrleitung fließt:

F_{Wellental} = F_{Druck} \cdot \frac{R - r}{R - r_{i}}

2. Kraftaufteilung an der Flanke (Differentielles Element)

Auf einem infinitesimal schmalen Kreisringelement der Flanke mit der Breite $d r$ beim Radius $r$ (wobei $r_{i} \leq r \leq R$ ) beträgt die differentielle Ringfläche:

d A = 2 π \cdot r \cdot d r

Die auf dieses Kreisringelement wirkende differentielle Druckkraft bei Innendruck $p$ lautet:

d F_{Druck} = p \cdot d A = p \cdot 2 π \cdot r \cdot d r

Nach dem in Abschnitt 1 hergeleiteten Hebelverhältnis wird nur ein Teil dieser Kraft auf das Wellental (den Rohranschluss) übertragen:

d F_{Flanke→Rohr} = d F_{Druck} \cdot \frac{R - r}{R - r_{i}} = p \cdot 2 π \cdot r \cdot \frac{R - r}{R - r_{i}} \cdot d r

3. Aufstellen des bestimmten Integrals

Um den gesamten Kraftanteil der elastischen Flanke auf das Rohr zu erhalten, integrieren wir von $r = r_{i}$ bis $r = R$ :

F_{Flanke→Rohr} = p \cdot \frac{2 π}{R - r_{i}} \int_{r_{i}}^{R} r \cdot (R - r) d r

Teilt man die Kraft durch den Druck $p$ , erhält man die wirksame Flankenfläche $A_{Flanke}$ :

A_{Flanke} = \frac{F_{Flanke→Rohr}}{p} = \frac{2 π}{R - r_{i}} \int_{r_{i}}^{R} (R \cdot r - r^{2}) d r

4. Berechnung der Stammfunktion und algebraische Vereinfachung

Die Stammfunktion des Integranden lautet:

\int (R \cdot r - r^{2}) d r = [\frac{R}{2} r^{2} - \frac{1}{3} r^{3}]

Einsetzen der oberen Grenze $r = R$ :

{[\dots]}_{R} = \frac{R}{2} R^{2} - \frac{1}{3} R^{3} = \frac{R^{3}}{2} - \frac{R^{3}}{3} = \frac{R^{3}}{6}

Einsetzen der unteren Grenze $r = r_{i}$ :

{[\dots]}_{r_{i}} = \frac{R}{2} r_{i}^{2} - \frac{1}{3} r_{i}^{3}

Die Differenz (obere minus untere Grenze) auf gemeinsamen Nenner 6 gebracht:

I = \frac{R^{3}}{6} - (\frac{R}{2} r_{i}^{2} - \frac{r_{i}^{3}}{3}) = \frac{R^{3} - 3 R r_{i}^{2} + 2 r_{i}^{3}}{6}

Nun setzen wir dieses Integral in die Flächenformel ein:

A_{Flanke} = \frac{2 π}{R - r_{i}} \cdot \frac{R^{3} - 3 R r_{i}^{2} + 2 r_{i}^{3}}{6} = \frac{π}{3} \cdot \frac{R^{3} - 3 R r_{i}^{2} + 2 r_{i}^{3}}{R - r_{i}}

        Polynomdivision: Der Zähler enthält die Nullstelle R=ri. 
        Führt man die Division durch den Nenner (R−ri) durch:
        
            (R3−3Rri2+2ri3)
            ÷
            (R−ri)
            =
            R2+Rri−2ri2
        
    

Damit vereinfacht sich der Flankenanteil exakt zu:

A_{Flanke} = \frac{π}{3} \cdot (R^{2} + R r_{i} - 2 r_{i}^{2})

5. Addition der Rohr-Zugbelastung zur Gesamtfläche

Zur Flankenkraft kommt die direkte axiale Druckkraft auf den freien Rohrquerschnitt im Wellental hinzu (Radius $r_{i}$ ):

A_{Rohr} = π \cdot r_{i}^{2}

Die wirksame Gesamtfläche $A_{gesamt}$ ist die Summe beider Flächenanteile:

A_{gesamt} = A_{Rohr} + A_{Flanke} = π r_{i}^{2} + \frac{π}{3} (R^{2} + R r_{i} - 2 r_{i}^{2})

Ausmultiplizieren und Zusammenfassen:

A_{gesamt} = \frac{π}{3} [3 r_{i}^{2} + R^{2} + R r_{i} - 2 r_{i}^{2}] = \frac{π}{3} (R^{2} + R r_{i} + r_{i}^{2})

        Ergebnis nach Radien:
        
            Agesamt
            =
            π3
            ·
            (R2+Rri+ri2)
        
    

6. Transformation in die technischen Durchmesser

In der Ingenieurpraxis werden die Durchmesser verwendet: $D = 2 R \Leftrightarrow R = \frac{D}{2}$ und $d_{i} = 2 r_{i} \Leftrightarrow r_{i} = \frac{d_{i}}{2}$ .

A_{gesamt} = \frac{π}{3} [{(\frac{D}{2})}^{2} + (\frac{D}{2}) (\frac{d_{i}}{2}) + {(\frac{d_{i}}{2})}^{2}] = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{4} (D^{2} + D d_{i} + d_{i}^{2})

        Endergebnis der exakten statischen Herleitung:
        
            Astatisch
            =
            π12
            ·
            (
                D2
                +
                D·di
                +
                di2
            )
        
    

7. Fazit & Vergleich mit der EJMA-Norm

In gängigen Auslegungsnormen wie der EJMA (Expansion Joint Manufacturers Association) oder DIN EN 14917 wird die wirksame Fläche meist über den mittleren Durchmesser angenähert:

d_{m} = \frac{D + d_{i}}{2} \Rightarrow A_{EJMA} = \frac{π}{4} d_{m}^{2} = \frac{π}{16} {(D + d_{i})}^{2}

Methode	Berechnungsformel	Charakteristik
Exakte statische Integration	$A_{statisch} = \frac{π}{12} (D^{2} + D d_{i} + d_{i}^{2})$	Exakte Berücksichtigung der Hebelwirkung und der mit dem Radius quadratisch anwachsenden Kreisringfläche.
EJMA / DIN EN 14917	$A_{EJMA} = \frac{π}{16} {(D + d_{i})}^{2}$	Ingenieurmäßige Näherung mit mittlerem Durchmesser. Nimmt vereinfachend eine lineare 50/50-Kraftaufteilung an.

Mathematischer Vergleich der beiden Methoden:

Bringt man beide Ausdrücke auf den gemeinsamen Hauptnenner 48, lässt sich die exakte Differenz bestimmen:

A_{statisch} = \frac{4 π}{48} (D^{2} + D d_{i} + d_{i}^{2}) = \frac{π}{48} (4 D^{2} + 4 D d_{i} + 4 d_{i}^{2})

A_{EJMA} = \frac{3 π}{48} {(D + d_{i})}^{2} = \frac{π}{48} (3 D^{2} + 6 D d_{i} + 3 d_{i}^{2})

Die Differenz zwischen beiden Flächen lautet daher:

Δ A = A_{statisch} - A_{EJMA} = \frac{π}{48} (D^{2} - 2 D d_{i} + d_{i}^{2}) = \frac{π}{48} {(D - d_{i})}^{2}

        Beweis der permanenten Positivität:
        Da (D−di)2>0 für alle realen Balggeometrien gilt, ist:
        
            Astatisch
            >
            AEJMA
            
            mit
            
            ΔA
            =
            π48(D−di)2
            =
            13(Hdm)2·AEJMA
        
    

Physikalische Interpretation:

Systematische Unterschätzung der EJMA: Die statische Integration beweist, dass die tatsächliche axiale Druckfläche stets etwas größer ist als der nach EJMA ermittelte Wert.
Ursache: Die Kreisringfläche wächst quadratisch mit dem Radius. Dadurch befindet sich der Flächenschwerpunkt der Flanke nicht genau in der Mitte, sondern ist radial nach außen in Richtung des Wellenbergs verschoben.
Praktische Auswirkung: Bei typischen Standard-Kompensatoren beträgt die Differenz meist nur 0,2 % bis 1,0 % und liegt im Rahmen üblicher Sicherheitsbeiwerte.
Relevanz bei tiefen Wellungen: Bei tiefen Wellungen oder kleinen Rohrdurchmessern mit großem Außendurchmesser liefert die statische Integration eine physikalisch fundiertere Berechnung der axialen Reaktionskraft $F_{ax} = p \cdot A_{gesamt}$ .

Axel’s Helferchen – Balgkompensator: Wirksame Druckfläche